Un arbre pondéré, c'est quoi ?

On considère une expérience aléatoire. On représente cette expérience aléatoire par un arbre pondéré, c'est-à-dire un arbre sur lequel les branches mènent à des événements et sur chacune d'elles, on y indique la probabilité de l'événement considéré.

Exemple

Dans cet arbre, on peut lire par exemple que \(P(A)=\dfrac{7}{15}\), \(P(B)=\dfrac{1}{3}\) et \(P(C)=\dfrac{1}{5}\).

L'arbre pondéré vérifie les propriétés suivantes.

• La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à \(1\).
  
• La probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche du chemin.
  
• La probabilité d'un événement associée à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.
  

Ces propriétés seront démontrées en première générale.

Retour à l'exemple

Le premier chemin de l'arbre permet de calculer la probabilité de l'événement \(A\cap R\) en faisant \(\dfrac{7}{15}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{45}\).

Pour calculer \(P(R)\), il faut utiliser les trois chemins de l'arbre qui mènent à \(R\).
On a alors \(P(R)=\dfrac{7}{15}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5} \times \dfrac{5}{6}=\dfrac{53}{90}\).